כללי

המתמטיקה של משחקי מזל

שחר כתב לפני כמה ימים בתודעה כוזבת פוסט לגבי זוג או פרט שבו הוא טוען שהמשחק אינו הוגן כי למעשה בעזרת 5 אצבעות ניתן לייצג 3 מספרים אי זוגיים אך רק 2 מספרים זוגיים (וכמובן שהתבסס וויכוח על אפס והלגיטימיות שלו). הטיעון הזה לא לגמרי מדוייק כי הרלוונטיות של מספר האצבעות שייך אך ורק לאפשרות החלוקה שלהן בשתיים. הכללים בסופו של יום הם הכללים המתמטיים הרגילים – זוגי+ זוגי=זוגי. אי-זוגי+אי-זוגי=זוגי, אי-זוגי+ זוגי = אי-זוגי. למעשה, לא משנה אם תבחר בזוגי או באי-זוגי הצעד של היריב רלוונטי באותה מידה לצעד שלך.

אם הייתי צריך לממש את המשחק בשפת מחשב הוא בוודאי היה נראה ככה:

public static void main(String[] args) {
	int player1 = (int)(5 * Math.random());
	int player2 = (int)(5 * Math.random());
	System.out.println("Player 1: " + player1 + " Player 2: " + player2);
	if((player1+player2)%2==0)
			System.out.println("Pair");
	else
			System.out.println("Odd");	
	}

לצורך העיניין, מבחינה סטטיסטית זוג או פרט לא שונה בהרבה מעץ או פלי – השחקן מכריז על הבחירה שלו אבל התוצאה נקבעת על בסיס הבחירה של היריב. כפי שהמתמטיקה מלמדת אותנו לא משנה אם נבחר במספר זוגי או אי זוגי הרי שסוג הבחירה של היריב היא 50:50 (זוגי או אי-זוגי) והבחירה הזו תשפיע על התוצאה באותו היחס בדיוק.

במספר גדול של ניסיונות אל מול אותו היריב ניתן קרוב לוודאי לעלות על הלוגיקה שלו ולהתאים את הלוגיקה כדי להגדיל את מספר הנצחונות אבל בהנחה שהיריב לומד הוא מהר מאוד ישנה את הטקטיקה שלו כדי להתאימה למצב החדש. היתרון העיקרי היא שזוג או פרט / עץ או פלי הם משחקי הגרלה חד פעמיים (לכל היותר הטוב מ 3) ולכן אין מספיק זמן כדי ללמוד טקטיקה ולהשיג ניצחון. לכן נלך אל משחק אחר שנותן לנו הסתברות של 50:50 ואינו מגביל אותנו במספר המשחקים וכך נותן לנו סיכוי להרוויח – הרולטה.

הרולטה מורכבת מגלגל שעליה רצף מספרים מ 1 עד 36 המודפסים על רקע שחור או אדום – כלומר 18 מספרים אדומים ו 18 מספרים שחורים. ברולטה תקנית כשההסתברות של כל אחד מהמספרים הוא 1:36 ההסתברות לקבלת אדום או שחור היא 50:50 – בעיקרון כמו עץ או פלי / זוג או פרט. ההגבלה היחידה במספר המשחקים למעשה היא כמות הכסף שיש לשחקן בהתחלת המשחק שכן ברגע שנגמרים המזומנים השחקן מתפנה.

לכאורה, יגיד כל אדם, אין סיכוי להביס את הרולטה ורוב הסיכויים שגם אם זכינו בסכום מסויים הרי שבסופו של יום נצא מהקזינו עם פחות כסף ממה שנכנסו אליו. תאורטית זה נכון, אבל מי שלא מחפש לשבור את הבנק אלא רק להגדיל קצת את נכסיו יכול בעיקרון לצבור סכומים נאים מאוד ממשחק על שחור/אדום – אם רק יצמד לטקטיקה המתבקשת.
הכלל במשחק 50:50 הוא שאתה יכול להכפיל או להפסיד את סכום הכסף ששמת בהתאם לזכיה / הפסד, אבל בקצת משחק עם המספרים והרבה הסתמכות על סטטיסטיקה אפשר לצאת מורווחים.

לצורך העיניין, נניח שיש לנו 1000 שקלים ביד כשאנחנו ניגשים אל הרולטה – הנה מהלך הצעדים

1. בחירה שרירותית של צבע (שחור או אדום) עם הימור של שקל אחד. (לצורך הדוגמא אני אלך כל השלבים על אדום)
2. אם זכינו – חוזרים על שלב 1 מההתחלה, אם הפסדנו ממשיכים ל 3.
3. כופלים את סכום ההימור מהשלב הקודם ב 3 (אם הימרנו על שקל נהמר על 3 שקלים) ונשים אותו שוב על האדום.
4. אם הפסדנו חוזרים על שלב 3, אם ניצחנו חוזרים אל שלב 1.

איך זה מתרגם לרווחים? הטבלה הבאה תמחיש את המספרים בצורה הטובה ביותר

הימור זכיה השקעה רווח
1 2 1 1
3 6 4 2
9 18 13 5
27 54 40 14
81 162 121 41

בשלב הראשון הימרנו על שקל וזכינו – השקעה של שקל, רווח של שקל
השלב השני מניח שלא זכינו בשלב הראשון – אנחנו מהמרים על 3 שקלים אבל כבר השקענו 4 שקלים. אם נזכה נקבל 6 שקלים והרווח הוא 2 שקלים
השלב השלישי (בהנחת הפסד בשני) – הימור על 9, השקעה כוללת של 13, סכום מזכיה – 19 שקלים והרווח הוא 5 שקלים.
העסק הזה ממשיך שוב ושוב וגדל ואיתו התקווה לזכיה שכן בסיבוב ה 6 אנחנו מהמרים כבר על 243 שקלים מה שמקפיץ את ההשקעה שלנו ל 364 שקלים. זה עוד אפשרי אבל אם נכנסנו לקזינו עם אלפיה הרי שלא נוכל לעמוד בהימור השביעי – 729 שקלים שיגרור השקעה מצטברת של 1093 שקלים.
אפשר כמובן להקטין את המכפלה – אם נרד לכפולות של 2.5, עדיין נרוויח ונוכל להרשות לעצמנו גם את הסיבוב השביעי אבל הרווחים כמובן יקטנו. לחילופין אפשר להביא כמובן הרבה יותר כסף ולקוות להגיע למספר ניסיונות גדול יותר. ההפרש שבין מכפלה של 2.5 ל 3 בסיבוב העשירי היא כ 8500 שקלים, אבל מצריכה מאיתנו השקעה של כ 30K שקל במכפלה של 3 לעומת 6500 שקלים במכפלה של 2.5.

היות ובכל פעם שאנחנו זוכים אנחנו למעשה מאפסים את ההימור ומתחילים מחדש משקל אחד אנחנו תמיד מרוויחים והיות וברולטה תיקנית הסיכוי הוא תמיד 50:50 הרי שהאדום בסופו של דבר יגיע, השאלה היא האם זה יהיה לפני שיגמר ההון ההתחלתי או שיעיפו אותנו מהקזינו.

18 thoughts on “המתמטיקה של משחקי מזל

  1. ראשית לגבי הפוסט שלי – ברור שאין הבדל בין זוג לבין פרט כששני השחקנים מבינים את הרעיון המתמטי, מה שניסיתי לדבר עליו הוא האופן שבו אני זוכר את עצמי משחק כילד, והאופן שעוד כמה אנשים בני גילי זוכרים – כלומר שליפה אקראית (עד כמה שהמוח האנושי מסוגל לאקראיות אמיתית) של אצבעות. התהייה המרכזית שלי היא השאלה האם הזכרון הזה אינו רמייה עצמית, האם ייתכן שגם אז, בלי שיקולים מדוייקים שיחקנו למעשה משחק מאוזן מתמטית.
    לעניין הפוסט שלך – ראשית מספיק לכפול גם פי 2 בלבד בכל סיבוב ואז הרווח תמיד יהיה של שקל אחד בסיבוב שבו תנצח סוף סוף. שנית ההסתברות לאדום\שחור ברולטה אינה חצי כי 0 ו-00 הם לא אדומים ולא שחורים, אבל זה לא משנה את השיקול שלך כאן כמובן, במוקדם או במאוחר אכן תזכה. יחד עם זאת, זו הסיבה (או לפחות אחת הסיבות) בגללן יש טווח מוגבל לגובה ההימורים – כך שלא תוכל לעבור יותר מידי שלבים בתהליך כמו זה שתיארת כאן. קזינו יוקרתי עם הימור מינמילי של כמה עשרות דולרים למשל, יביא אותך מהר מאוד להחלטות בעייתיות.

  2. ואתה חושב שבתי קזינו לא מודעים לטקטיקה הזאת? ברוב המקרים הם מהר מאוד יבקשו ממך לעזוב את המקום

    1. קודם כל לא משנה כמה תרויח לא יעיפו אותך מסיבה אחת אתה מרויח ומאה אנשים אחרים מפסידים ובסתטיסטיקה הכל יוצא יוצא פשוט לא ראיתי עוד מהמר שמרויח מהימורים או מקזינו לגבי האדום שחור יכול להיווצר מצב של עשר פעמים שחור ובמקרה זה אתה יוצא עם התחתונים למטה אז בכל מצב כל מי שהולך לקזינו שילך למטרת הנאה ולא למטרת רווח קינג דיויד.
      הטור הינו טור דיעה.

  3. אהבתי את הפוסט,

    "הקזינו תמיד מנצח" (בטווח הארוך) – יצא לי לראות ישראלים בקזינו, וזה ממש הזוי לפי דעתי מה שהולך שם, אנשים פשוט ממהרים להפסיד את הכסף שלהם, חשבתי לשחק בפוקר (TEXAS HOLDEM) שזה משחק עם אפשרות להצלחה שלא רק תלויה במזל, וגם אם אתה זוכה באופן, אז הקזינו לא יעיף אותך כי הוא גם ככה מרוויח לא משנה מה.

    לגבי הטלת המטבע – יש אפשרות ממש מיקרו קטנה שהמטבע יפול על האמצע (ככה שזה לא חמישים חמישים 🙂 )

  4. חבר, אי אפשר באמת להרוויח ככה ברולטה. תוחלת הרווח תמיד שווה אפס. צמד המשפטים "מי שלא מחפש לשבור את הבנק אלא רק להגדיל קצת את נכסיו יכול בעיקרון לצבור סכומים נאים מאוד ממשחק על שחור/אדום – אם רק יצמד לטקטיקה המתבקשת.
    […] בקצת משחק עם המספרים והרבה הסתמכות על סטטיסטיקה אפשר לצאת מורווחים" פשוט אינו נכון.

    הנושא המדוייק הזה נדון כאן:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Martingale_%28betting_system%29

    מקור סביר (אבל נחות בהרבה) בעברית:
    http://www.tapuz.co.il/blog/ViewEntry.asp?EntryId=813494

    כדאי לכולנו לנסות להעמיק את ההבנה המתימטית. אין לי ספר טוב להמליץ למטרה זאת (אולי גדל-אשר-באך? אבל אף פעם לא קראתי אותו). אולי מישהו יכול להמליץ בתגובות.

    1. אני לא ממש התעמקתי בקריאת הקישורים הללו, אבל כן עשיתי קורס בסטטיסטיקה והסתברות בטכניון ועוד אחד אחר כך במכללה ככה שאני יודע על מה מדובר.ככלל אתה צודק, אבל כמובן שיש יוצאים מהכלל. בוא נעשה הבדלה ראשונה בין לנצח את הקזינו לבין להרוויח כמה גרושים – בשיטה הזו אתה לא יכול לעשות את הראשון אבל אתה כן יכול לעשות את השני והסיבה – היא בדיוק התוחלת עליה דיברת.

      תוחלת מוגדרת פחות או יותר כממוצע התוצאות של מדגם מייצג. זה אומר שאם תשב ימים כלילות ותשחק מול הרולטה בדרך הזו בתנאי מעבדה – אתה צודק. אם תיכנס לרולטה אמיתית ותשחק שם 10, 20, 30 משחקונים – התוחלת איננה רלוונטית.

      יש שלוש בעיות עם השיטה הזו.
      1. ברגע שיבינו שאתה משתמש בה אתה עלול להיזרק מהשולחן.
      2. יכולת המשחק שלך מוגבלת בהון ההתחלתי שלך, כפי שכבר כתבתי – בסיבוב ה 6 אתה זקוק לכ 360 שקלים ובשביעי למעל אלפיה.
      3. כדי שתוכל לעשות הימור ראשוני של שקל אתה צריך ללכת על שולחן שהכללים שלו הם הימורים קטנים וזה אומר שאתה עלול להחסם על ידי גובה הימור מקסימלי.
      4. רוב האנשים לא יודעים מתי לפרוש.

      צבירת הרווח האמיתית היא איטית מאוד, האם תוכל לצאת ולרכוש אוטו חדש?. ככל הנראה לא. האם תוכל להרשות לעצמך ארוחה דשנה ומכובדת אחר כך – בהחלט יתכן שכן.

      הנקודה היא שלמרות שהסיכוי שיהיו לך 5 הפסדים רצופים הוא בהחלט קיים הוא גם בהחלט קטן. רוב הסיכויים שבטווח זמן קצר ה"תוחלת" של הזכיות שלך תהיה משהו כמו 1 ל 3 וזה אומר שבכל "סיבוב" שכזה תרוויח 5 שקלים.
      הקטע שעם רווח של 5 שקלים כדי להגיע לסכום נאה אתה צריך מספר רב של משחקים – בשביל 200 שקלים אתה זקוק ל 400 סיבובים שהם כ 1200 משחקונים – מה שמעלה כמובן את הסיכוי שלך לפגוש את סעיף 2. בכלל, ככל שתשחק יותר הסיכוי שלך לפגוש את סעיף 2 (או 1) גדלים ולרוב זה יהיה סכום שלא ניתן להתאושש ממנו.

      ופה בדיוק אנחנו עוברים אל משפט הסיום מהפוסט שלי "היות וברולטה תיקנית הסיכוי הוא תמיד 50:50 הרי שהאדום בסופו של דבר יגיע, השאלה היא האם זה יהיה לפני שיגמר ההון ההתחלתי או שיעיפו אותנו מהקזינו."

      1. משהו קטן יפה שפעם קראתי בנושא:

        רוב האנשים חושבים שההסתברות לקבל 6 רצפים של אדום נמוכה בהרבה מההסתברות לקבל נגיד אדום שחור שחור אדום אדום שחור (אקראי), אבל הם טועים. ההסתברות לגמרי זהה. הסיבה היא שהמשחק "מתחיל מחדש" כל פעם שמסובבים (אפשר להשוות את זה להטבת מטבע, למעשה כל משחק של 50 50).

        אותו הדבר עם הטלה קובייה, ההסתברות לקבל את הסדרה 6 6 6 6 6 6 שווה להסתברות לקבל 1 3 4 3 5 2 (אקראי )

        🙂

        1. ההסתברות לקבל רצף קבוע מוגדר מראש זהה בין אם מדובר ב 6 אדומים או אדום-שחור-אדום-שחור-שחור-אדום. כלומר – ברגע שאתה מגדיר רצף קבוע, ההסתברות שלו היא זהה בהנחה שההסתברות שקבלת כל אחד מהפריטים זהה (50:50 לצורך העיניין) אבל הסיכוי לקבל אדום – אדום – אדום – אדום – אדום – אדום היא קטן בהרבה מלקבל כל צירוף אחר. למעשה, הסיכוי שלא לקבל 6 אדומים רצופים הוא אחד פחות הסיכוי לקבל 6 אדומים רצופים – כך שלמעשה, הסיכוי לקבל כל דבר אחר חוץ מ 6 פעמים אדום הוא מצויין.

          1. מסכים,

            מצד שני אפשר גם להגיד שלא לקבל כל רצף אקראי אחר כמו שחור-אדום-אדום- אדום-שחור-שחור שווה לסיכוי לא לקבל את הרצף אדום אדום אדום אדום אדום אדום 🙂

            הבנתי את הפואנטה שלך, הפואנטה שלי פשוט הייתה שונה…

      2. ניצן, עם כל הכבוד לקורסים בסטטיסטיקה שלמדת, לצערי אתה לא יודע על מה מדובר. הדברים שאתה כותב בתגובה שלך שגויים. אני מתנצל על הטון השלילי, אבל אתה לא מבין הסתברות. רק שתדע.

        אם אתה מעוניין ללמוד במקום לשגות באשליות, אשמח להפנות אותך למקורות מתאימים.

          1. כמובן.

            כמו שאמרתי, אני יכול להפנות אותך למקורות טובים. אפשר להתחיל בכך שתקרא את המקור עליו הצבעתי מלכתחילה:
            http://en.wikipedia.org/wiki/Martingale_%28betting_system%29

            הוא כתוב באופן סביר. אפשר גם לנסות לקרוא טקסט טוב בתורת ההסתברות, אבל אני לא מכיר טקסט כזה שניתן בקריאה בקלות. אפשר לבדוק כאן:
            http://www.google.com/search?q=introduction+to+probability+theory+lecture+notes

            קורס שעוסק רובו במרטינגלים אפשר למשל למצוא כאן:
            http://www.math.washington.edu/~eyal/523A/
            (כבונוס, הוא נגיש גם למי שלא כל כך יודע אנליזה)

            אבל באמת לא צריך את כל זה. השורה התחתונה היא שבשיטה שאתה מציע, כמו בכל שיטת הימור אחרת ברולטה "הוגנת" (כלומר רולטה בלי 0 ו-00) או בכל הימור "הוגן" אחר, תוחלת הרווח שווה לאפס (בהנחה שההון ההתחלתי סופי, אחרת התוחלת לא מוגדרת). בפרט, בשיטה שאתה מציע, אם אתה מתחיל עם הון התחלתי סופי, אז בהסתברות מאד גדולה תרוויח קצת, ובהסתברות קטנה אבל קיימת תפסיד את המכנסיים.

            בממוצע, יכול להיות שתרוויח ארוחת ערב עשר פעמים, אבל אז תפסיד כסף שמספיק לעשר ארוחות ערב.

            כתבת "צבירת הרווח האמיתית היא איטית מאוד". אין צבירת רווח. אין ולא תהיה. הרווח הוא אפס בתוחלת.

          2. רפרפתי על כולם, התעמקתי בעיקר בלינק של וויזארד אוף אודס – הכי התחברתי אליו בדיוק בגלל הדוגמא של התוכנה שהוא בנה.

            המסקנה שלי היא כזו – זה לא שאני לא הבנתי את הסטטיסטיקה כמו שאתה אולי לא הבנת למה התכוונתי. בסופו של דבר התוחלת היא אפס כי אם תהמר מספיק פעמים תגיע לרגע שבו אתה לא יכול לכסות את ההפסדים שלך – זה אומר שאת כל הרווח שצברת – הפסדת. זה לא משנה אם אתה משחק 1000 משחקים ברצף או משחק 100 פעמים שונות 10 משחקים כל פעם – בסופו של דבר אתה משחק 1000 משחקים ובכך מגדיל את הסיכויים שלך לפגוש את הסכום שירושש לך את הכיס.
            זה יכול להיות הסיבוב הראשון שלך, או הסיבוב ה 1000 שלך – בסופו של דבר, תאבד את כל מה שצברת – אין פה כל ספק.

            ועדיין, בשביל משחק בודד, מוגבל בניסיונות ובתקציב יש לך יותר סיכוי לצאת עם רווח מאשר עם הפסד או כמו שמראה הגרף של ויזרד אוף אודס – הרוב סיימו עם רווח של 51$, בעוד שכ 19.6% פרשו מהמשחק אחרי שאיבדו את כל ההון ההתחלתי שלהם.

            כך שכן, התוחלת היא בהחלט אפס, אבל זה לא נכון שאי אפשר לזכות כמו שזה נכון שלאורך זמן אי אפשר להרוויח.

  5. לא קראתי את התגובות.
    רק רציתי להגיד שברולטה ובעצם כל משחק בקזינו (נגדו) הסיכויים *תמיד* יהיו לטובת קזינו בסביבות ה51% מול 49% שלך.
    בקזינואים פחות כדאיים, כמו אלו שבלאס וגאס הסיכויים מגיעים אפילו ל3%-4% לטובת הקזינו.
    ככה שהבית *תמיד* מקבל לפחות 2% מהמחזור.

    במשחק הרולטה ספציפית, יש 36 מספרים (אדום שחור) ו 2 מספרים נוספים, של הקזינו (0 ו00).

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

חזרה למעלה